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整数解の問題

$a\sqrt{b}=\sqrt{a*10^N+b}$ を満たす正の整数 $a,b,N$ を求めよう。

$a^2 b=a*10^N+b$ を $a$ についての2次方程式とみる。判別式 $D=10^{2N}+4b^2$ は平方数 $c^2$ となる必要がある。

ピタゴラスの三つ組は一般に、 $k(m^2-n^2),2kmn,k(m^2+n^2)$ で表すことができる。したがって、

$10^N=k(m^2-n^2)$

$2kmn=2b$

$k(m^2+n^2)=c$

として、解の公式より、 $a=\displaystyle\frac{10^N \pm c}{2b}=\frac{k(m^2-n^2) \pm k(m^2+n^2)}{2kmn}=\displaystyle\frac{m}{n},\displaystyle\frac{-n}{m}$ となる。

$a$ は正の整数なので、 $a=\displaystyle\frac{m}{n}$ である。 $m=an$ より、 $10^N=k((an)^2-n^2)=kn^2(a^2-1)$ となるので、 $a^2-1=2^x 5^y$ と表せる。

$a^n-1=p^m$ を満たす２以上の正の整数 $a,n,p,m$ ( $p$ は素数)は、 $3^2-1=2^3$ のみである。はてなブログでTeX - k56737kagawa’s blog

したがって $x$ は正である。

$a+1,a-1$ の最大公約数は $1,2$ のいずれかである。 $a+1,a-1$ が互いに素のとき、 $a^2-1=2^x 5^y$ より、 $a+1+a-1=2^x+5^y$ となって矛盾する。

$a+1,a-1$ の最大公約数は $2$ である。以下の場合を考えればよい。

　 $a+1=2^{x-1} 5^y$ かつ $a-1=2$ 　この場合 $a=3$
　 $a+1=2*5^y$ かつ $a-1=2^{x-1}$ 　この場合 $a=9$
　 $a-1=2*5^y$ かつ $a+1=2^{x-1}$ 　この場合は解なし

答えは２つしかない。

$3 \sqrt{375}=\sqrt{3375}$ と $9 \sqrt{1125}=\sqrt{91125}$ である。