関 Bernoulli 多項式と Faulhaber の公式

＊差分・和分

$\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ において、 $\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$ とした極限を微分係数とよび、 $Df=\displaystyle\frac{df}{dx}(x)$ と表すことにする。
また、 $h=1$ としたものを差分（階差）とよび、 $\Delta f=f(x+1)-f(x)$ と表す。
$\Sigma_a^b f = \displaystyle\sum_{k=a}^{b-1} f(k)$ を和分とよぶ。
微分・積分と差分・和分には類似の関係が成り立っている。
$\displaystyle\int_a^b Df = f(b)-f(a)$
$\Sigma_a^b \Delta f = f(b)-f(a)$

＊下降階乗

$(n)_k=k! \times \displaystyle\binom{n}{k}$ を下降階乗とよぶ。
下降階乗は $n$ が自然数でないときにも定義できる。
$(x)_k=x(x-1) \cdots (x-k+1)$
下降階乗の差分は、冪乗の微分と類似の式が成り立つ。
$\Delta (x)_k = k (x)_{k-1}$
$D x^k = k x^{k-1}$
二項係数を使うと、 $\Delta \displaystyle\binom{x}{k}=\displaystyle\binom{x}{k-1}$ と表せるが、この式は $\displaystyle{\binom{x+1}{k} - \binom{x}{k} = \binom{x}{k-1} }$ であり、パスカルの恒等式を意味している。

＊関 Bernoulli 多項式と関 Bernoulli 数

整数 $m$ について、 $B_m(x)$ が関 Bernoulli 多項式であるとは、
$D B_m(x) = m B_{m-1}(x)$ および $\Delta B_m(x) = D x^m$ が成り立つこととする。
この２つの条件があれば計算できるのである。 $B_m(0)=B_m$ と表すことにすると、
$D B_0(x) = 0 B_{-1}(x) = 0$ より、 $B_0(x)$ は定数関数である。
$\Delta B_1(x) = D x^1 = 1$ より、 $B_1(x) = x + B_1$ と表せる。
$D B_1(x) = 1 B_{0}(x)$ より、 $B_0(x)=1$ である。
$D B_2(x) = 2 B_{1}(x) = 2(x+B_1)$ より、 $B_2(x)=x^2+2B_1x+B_2$ である。
$\Delta B_2(x) = D x^2 = 2x$ より、 $2x+1+2B_1=2x$ となるので、 $B_1=\frac{-1}{2}$ を得る。
$D B_3(x) = 3 B_{2}(x) = 3(x^2-x+B_2)$ より、 $B_3(x) = x^3-\frac{3}{2}x^2+3B_2x+B_3$ である。
$\Delta B_3(x) = D x^3 = 3x^2$ より、 $3x^2+3x+1-\frac{3}{2}(2x+1)+3B_2=3x^2$ となるので、 $B_2=\frac{1}{6}$ である。以下同様の計算が続く。
$B_m(0),B_m(1)$ を、それぞれ第1種関 Bernoulli数、第2種関 Bernoulli数とよぶ。
$B_m(0)=B_m$ と表すと、 $B_m(1)=(-1)^m B_m$ が成り立つ。
$m$ が3以上の奇数であるとき、第1種関 Bernoulli数 $B_m=0$ となるので、第1種と第2種が本当に異なる値となるのは、 $B_1(1)=\frac{1}{2}$ と $B_1(0)=\frac{-1}{2}$ の場合のみとなる。
Taylorの展開公式により、 $f(x)=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-a)^n}{n!}D^n f(a) }$ 　ここで、 $D^n f = \displaystyle\frac{d^n f}{dx^n}$
これを適用すると、 $B_m(x)=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-a)^n}{n!}D^n B_m(a) = \sum_{n=0}^{m} \frac{(x-a)^n}{n!}(m)_n B_{m-n}(a) }$
$=\displaystyle{ \sum_{n=0}^{m} \binom{m}{n} (x-a)^n B_{m-n}(a)}$
よって、 $B_m(x+a)=\displaystyle{ \sum_{n=0}^{m} \binom{m}{n} x^n B_{m-n}(a)}$ を得る。

＊冪乗数列の和の公式（Faulhaber の公式）

$\displaystyle\sum_{k=1}^N k^m = \displaystyle{\sum_{x=1}^N \frac{D x^{m+1}}{m+1}} = \displaystyle{\sum_{x=1}^N \frac{\Delta B_{m+1}(x)}{m+1}} = \displaystyle\frac{B_{m+1}(N+1)-B_{m+1}(1)}{m+1}$
ここで、 $B_m(N+1)=\displaystyle{ \sum_{n=0}^{m} \binom{m}{n} N^n B_{m-n}(1)}$ より、 $\displaystyle\frac{B_{m+1}(N+1)-B_{m+1}(1)}{m+1}=\displaystyle{\frac{1}{m+1} \sum_{n=1}^{m+1} \binom{m+1}{n} N^n B_{m+1-n}(1)}$

＊微分作用素・差分作用素

Taylorの展開公式により、 $f(x+1)-f(x)=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}D^n f(x)}$ である。
そこで、 $\Delta=e^D-1$ と形式的に表現する。これは、 $e^x-1=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}}$ による。
さすれば、 $Df = \Delta g \Leftrightarrow$ $\displaystyle\frac{\Delta}{D} g = f+C$ が成り立つ。ただし、 $\displaystyle\frac{\Delta}{D} = \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}D^{n-1}}$ によって微分作用素を定義する。
一方、 $\displaystyle\frac{D}{\Delta} f = g+C$ は成り立つだろうか？
そのためには、微分作用素 $\displaystyle\frac{D}{\Delta}$ の意味をはっきりさせなければならない。
Taylorの展開公式の離散版として、以下のNewtonの展開公式が知られている。
$g(x)=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-a)_n}{n!}\Delta^n g(a)}$
どちらも無条件で成り立つ訳ではなく、Taylorの展開公式は、関数の無限回の微分可能性と収束半径の存在を仮定するとき、収束半径内において成り立つ。
Newtonの展開公式も、限られた関数（例えば整関数）において成立する。このとき、 $x-a=h$ とおくと、 $\displaystyle{\frac{g(a+h)-g(a)}{h} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(h)_n}{h*n!}\Delta^n g(a)}$
両辺を $\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$ すれば、 $\displaystyle\frac{(h)_n}{h}=(h-1)\cdots(h-n+1)$ は $(-1)^{n-1}(n-1)!$ に収束するので、 $\displaystyle{Dg(a) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}\Delta^n g(a)}$ が成り立つ。
ここで、 $\log (x+1) = \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-(-x)^n}{n}}$ より、形式的に $\log (\Delta+1) = \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n} \Delta^n}$ と表すことにすると、 $D=\log(\Delta+1)$ が成り立ち、 $\Delta=e^D-1$ に対応していることが分かる。したがって $\displaystyle\frac{D}{\Delta}$ を $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n} \Delta^{n-1}}$ によって定義すれば、 $Df = \Delta g \Leftrightarrow$ $\displaystyle\frac{D}{\Delta} f = g+C$ が成立することが諒解できるであろう。