ニュートンの恒等式 - k56737kagawa’s blog

今回は以下のサイトを参考にしています。

https://proofwiki.org/wiki/Newton%27s_Identities/Proof_1

proofwiki.org

$x=(x_1,\cdots,x_N)$ とおく。

$N$ 次多項式 $f(X)$ を定義する。

$f(X)=(X-x_1)\cdots(X-x_N)=X^N+a_1X^{N-1}+\cdots+a_{N-1}X+a_{N}$

このとき $\sigma_k(x)=(-1)^ka_k$ を基本対称式とよぶ。ただし $a_0=\sigma_0(x)=1$ と定める。

$S_m=x_1^m+\cdots+x_N^m$ を $m$ 乗の和とする。

ニュートンの恒等式とは、「基本対称式」と「冪乗和」の関係式である。

[Theorem](Newton) $S_n+a_1S_{n-1}+\cdots+a_{n-1}S_1+na_{n}=0$

(example 1)

$x^3+y^3+z^3-(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)+(xy+yz+zx)(x+y+z)-3xyz=0$

(proof)

$f(X)$ に $X=x_j$ を代入すると $f(x_j)=0$ となるので、

$0=f(x_j)=x_j^N+a_1x_j^{N-1}+\cdots+a_{N-1}x_j+a_N$

これらの等式を $j$ について和を行うと、

$\displaystyle\sum_{j=1}^N(x_j^N+a_1x_j^{N-1}+\cdots+a_{N-1}x_j+a_N)=0$ より

$S_N+a_1S_{N-1}+\cdots+a_{N-1}S_1+Na_{N}=0$ すなわち $n=N$ のときの解答を得る。

[Lemma 1]　　 $1\leqq k\leqq N-1$ とする。

文字 $x_j$ を取り除く操作を $\hat{x_j}$ で表すことにする。

(1) $\sigma_k(x)=\sigma_k(\hat{x_j})+\sigma_{k-1}(\hat{x_j})x_j$

(2) $k\sigma_k(x)=\displaystyle\sum_{j=1}^N \sigma_{k-1}(\hat{x_j})x_j$

（ $\because$ ）（１）は基本対称式の定義を使う。（２）は $\sigma_k(tx_1,\cdots,tx_N)$ を $t$ で1階微分して $t=1$ を代入すればよい。

上記の補題を利用する。

以下では、 $n \leqq N$ の場合について証明する。

$S_n+a_1S_{n-1}+\cdots+a_{n-1}S_1=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{n-k} S_{k}$ $= \displaystyle{\sum_{k=1}^n a_{n-k} \sum_{j=1}^N x_j^k}$ $= \displaystyle{\sum_{j=1}^N \sum_{k=1}^n a_{n-k} x_j^k}$

$= \displaystyle{\sum_{j=1}^N \left(x_j^n+\sum_{k=1}^{n-1} a_{n-k} x_j^k \right)}$

ここで $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} a_{n-k} x_j^k=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}a_k x_j^{n-k}$ を補題を利用して計算する。

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}a_k x_j^{n-k}$ $=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^k \sigma_k(x) x_j^{n-k}$ $=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^k (\sigma_k(\hat{x_j})+\sigma_{k-1}(\hat{x_j})x_j) x_j^{n-k}$ $= \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^k \sigma_k(\hat{x_j}) x_j^{n-k}$ $+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^k \sigma_{k-1}(\hat{x_j})x_j^{n-k+1}$

$l=k-1$ によって添字を置き換えると、

$= \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^k \sigma_k(\hat{x_j}) x_j^{n-k}$ $+\displaystyle\sum_{l=0}^{n-2}-(-1)^l \sigma_l(\hat{x_j}) x_j^{n-l}$ $=-x_j^n+(-1)^{n-1}\sigma_{n-1}(\hat{x_j})x_j$

あとは $j$ についての和を計算すればよい。

$\displaystyle{\sum_{j=1}^N (x_j^n+\sum_{k=1}^{n-1} a_{n-k} x_j^k)}$ $=\displaystyle{\sum_{j=1}^N (-1)^{n-1}\sigma_{n-1}(\hat{x_j})x_j }$ $=(-1)^{n-1} n \sigma_n(x)=-na_n$

よって求める等式を得る。