Newtonの展開公式 - k56737kagawa’s blog

Taylorの展開公式 $f(x)=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-a)^n}{n!}D^n f(a) }$ に対して、Newtonの展開公式 $g(x)=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-a)_n}{n!}\Delta^n g(a)}$ が知られている。
ここで、 $D^n f=\displaystyle\frac{d^nf}{dx^n}$ 、 $D^0 f = f$ 、 $\Delta g=g(x+1)-g(x)$ 、 $\Delta^n g = \Delta \Delta^{n-1} g$ 、 $\Delta^0 g = g$ 、 $(x)_k=x(x-1) \cdots (x-k+1)$ とする。
下降階乗 $(x)_k$ の差分と冪乗関数の微分は類似している。
$\Delta (x)_k = k (x)_{k-1}$ 、 $D x^k = k x^{k-1}$
Taylorの展開公式が、収束半径内という制限付きで成り立つのと同様に、Newtonの展開公式にも制約がある。例えば $g(x)$ として多項式関数を考えると、有限回の差分によって多項式関数は消滅するので都合がよい。

＊部分和分（部分積分の離散版）

Taylor展開が部分積分を繰り返して得られるように、Newtonの展開公式も「部分和分」を繰り返すことで得られる。
部分和分の公式 : $\Sigma_a^x u \Delta v = uv \Big|_a^x - \Sigma_a^x v(t+1)\Delta u$
ただし、 $\Sigma_a^x = \displaystyle\sum_{t=a}^{x-1}$ かつ $x-a$ は正の整数とする。
$g(x)-g(a) = \Sigma_a^x \Delta g$ に対して、 $u=\Delta g , \Delta v = 1$ として部分和分を行う。 $v(t)=t-x$ を選ぶと、
$g(x)-g(a) = -(a-x) \Delta g(a)- \Sigma_a^x (t+1-x) \Delta^2 g$ を得る。

$-\Sigma_a^x (t+1-x) \Delta^2 g$ に対して再び部分和分を行う。
$u=\Delta^2 g , \Delta v = -(t+1-x)$ とみなして、関数 $v(t)$ を求める。 $\Delta (t+A)_k = k(t+A)_{k-1}$ より、 $v(t)=-\frac{1}{2}(t+1-x)_2$ とおけばよい。
$(1)_2=1(1-1)=0$ となるので、 $uv \Big|_a^x = u(a) \frac{1}{2}(a+1-x)_2$ となるが、ここで $(a+1-x)_2=(a+1-x)(a-x)=(x-a)(x-a-1)=(x-a)_2$ より、 $uv \Big|_a^x = \frac{1}{2}(x-a)_2 \Delta^2 g(a)$ を得る。
$g(x)-g(a) = (x-a) \Delta g(a)+\frac{1}{2}(x-a)_2 \Delta^2 g(a)+\Sigma_a^x \frac{1}{2}(t+2-x)_2 \Delta^3 g$

$\Sigma_a^x \frac{1}{2}(t+2-x)_2 \Delta^3 g$ に対して再び部分和分を行う。
$u=\Delta^3 g , \Delta v = \frac{1}{2}(t+2-x)_2$ とみなして $v(t)=\frac{1}{6}(t+2-x)_3$ とおけばよい。
$(2)_3=0$ より、 $uv \Big|_a^x = -u(a) \frac{1}{6}(a+2-x)_3$ となるが、 $(a+2-x)_3=(a+2-x)(a+1-x)(a-x)$ $=-(x-a)(x-a-1)(x-a-2)=-(x-a)_3$ より、 $uv \Big|_a^x = \frac{1}{6}(x-a)_3 \Delta^3 (a)$ を得る。このような計算を繰り返すことにより、
$g(x)=\displaystyle{\sum_{k=0}^{n} \frac{(x-a)_k}{k!}\Delta^k g(a)}+\Sigma_a^x (-1)^{n} \frac{1}{n!} (t+n-x)_{n} \Delta^{n+1}g$ を得る。
$g(x)$ として多項式関数を考えると、有限回の差分によって剰余項は消滅し、Newtonの展開公式が得られる。