平方根の連分数 - k56737kagawa’s blog

$\sqrt{n}=a+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{b}}}}}$ を満たす正の整数 $n,a,b$ を求めよう。

$x=\sqrt{n}-a$ とおく。 $\displaystyle\frac{1}{x^2}=1+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{b}}}$ より、 $(\displaystyle\frac{1}{x^2}-1)^2=\displaystyle\frac{b}{b+1}$ となるので、 $c=b+1,y=\displaystyle\frac{1}{x^2}$ とおくと、 $y^2-2y+\displaystyle\frac{1}{c}=0$ となる。

$\alpha=\sqrt{n}-a , \beta=-\sqrt{n}-a$ とおくと、 $y^2-2y+\displaystyle\frac{1}{c}=0$ の解は、 $\displaystyle\frac{1}{\alpha^2},\displaystyle\frac{1}{\beta^2}$ と表せる。解と係数の関係より、 $\displaystyle\frac{1}{\alpha^2}+\displaystyle\frac{1}{\beta^2}=2$ 、 $\displaystyle\frac{1}{\alpha^2} \displaystyle\frac{1}{\beta^2}=\displaystyle\frac{1}{c}$ より、 $\displaystyle\frac{4a^2-2(a^2-n)}{c}=2$ となるので、 $a^2+n=c=(a^2-n)^2$ を得る。この式を $n$ についての2次方程式とみると、判別式 $D=8a^2 +1$ は平方数 $k^2$ となる。

$k^2=8a^2 +1$ はぺル方程式なので、別の節で解説する。