格子点問題

「Dirichletの約数問題」ともよばれる。1838年に証明された。

d(n)でnの約数の個数を表し、D(x)=\displaystyle\sum_{n \leqq x} d(n)とおく。

座標軸a,bをとり、双曲線ab=xを考える。xはひとまず変数では なく定数とみなしていることを注意しておく。

ab=x,a=1,b=1によって囲まれる領域\Omega内の格子点を数えるとD(x)に一致する。なぜなら、d(n)はab=nとなる正の整数のペア(a,b)の個数に等しい。

nを1 \leqq n \leqq xの範囲で動かすと、D(x)が求まる。

\Omegaを以下の３つの領域に分ける。

D_1=\{ (a,b) : 1 \leqq a \leqq \sqrt{x} かつ \sqrt{x} \leqq b \leqq \frac{x}{a} \}

D_2=\{ (b,a) : (a,b) \in D_1 \}

D_3=\{ (a,b) : 1 \leqq a,b \leqq \sqrt{x} \}

最も簡単に求まるのはD_3内の格子点であって、[\sqrt{x}]^2で求まる。

ここで [x] はガウス記号でx以下の最大の整数を表す。

D_1,D_2内の格子点の個数は互いに等しく、\displaystyle\sum_{a=1}^{[ \sqrt{x} ]} [ \frac{x}{a} ] - [ \sqrt{x} ]^2 　で表すことができる。

 この値を近似する式を与えよう。\displaystyle{[ \frac{x}{a} ] } をほぼ\displaystyle\frac{x}{a}と見積もる。このとき、 \displaystyle\sum_{n=1}^{[ \sqrt{x} ]} \frac{1}{n} について考えよう。

【補題】 \displaystyle{\sum_{n=1}^{[ x ]} \frac{1}{n} = \frac{[ x ]}{x}+ \int_1^x \frac{[ t ]}{t^2} dt}

（証明） \displaystyle{\sum_{n=1}^{[ x ]} \frac{1}{n} = \sum_{n=1}^{[ x ]} \frac{1}{n} ([n ]-[n-1 ]) = 1+ \sum_{n=1}^{[x ]-1} [ n ] (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}= \displaystyle{1+ \sum_{n=1}^{[x ]-1} \int_n^{n+1} \frac{[t ]}{t^2}dt = 1+\int_1^{[x ]}\frac{[t ]}{t^2}dt =}\displaystyle{1+\int_1^x \frac{[t ]}{t^2}dt+\int_x^{[x ]} \frac{[t ]}{t^2}dt}

ここで、\displaystyle{\int_x^{[x ]} \frac{[t ]}{t^2}dt=[x ]\int_x^{[x ]}\frac{dt}{t^2}=[x ]\left( \frac{1}{x}-\frac{1}{[x ]} \right)}より求める式を得る（終）

Euler–Mascheroni定数を、 \gamma =1- \displaystyle\int_1^{\infty} \frac{t-[t]}{t^2}  dxで定義する。
\displaystyle{\sum_{n=1}^{[ x ]} \frac{1}{n} = \frac{[ x ]}{x}+ \int_1^x \frac{[ t ]}{t^2} dt} を、Euler–Mascheroni定数を使いながら変形してみよう。
\displaystyle\frac{[ x ]}{x} = 1+\displaystyle\frac{[ x ]-x}{x}と\displaystyle{\int_1^x \frac{[ t ]}{t^2} dt=\int_1^x \frac{[ t ]-t}{t^2} dt + \log(x)}により、\displaystyle{\sum_{n=1}^{[ x ]} \frac{1}{n} = \frac{[ x ]}{x}+ \int_1^x \frac{[ t ]}{t^2} dt} = 1+\displaystyle{\frac{[ x ]-x}{x} + \int_1^x \frac{[ t ]-t}{t^2} dt + \log(x)} = 1+\displaystyle{\frac{[ x ]-x}{x} + \int_1^{\infty} \frac{[ t ]-t}{t^2} dt - \int_x^{\infty} \frac{[ t ]-t}{t^2} dt + \log(x)} 
= \displaystyle{\log(x) + \frac{[ x ]-x}{x} + \int_x^{\infty} \frac{t - [ t ]}{t^2} dt + \gamma}