フィボナッチ数列とチェビシェフ多項式

yu200489144.hatenablog.com

今回は上記のブログを参考にさせてもらっています。

第１種チェビシェフ多項式

$T_0(x)=1 , T_1(x)=x , T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)$

第２種チェビシェフ多項式

$U_0(x)=1 , U_1(x)=2x , U_{n+1}(x)=2xU_n(x)-U_{n-1}(x)$

チェビシェフ多項式は三角関数の $n$ 倍角の公式を表示できる。

【命題】

１　 $T_n(\cos \theta)=\cos n \theta$

２　 $U_{n-1}(\cos \theta)=\displaystyle\frac{\sin n \theta}{\sin \theta}$

以下の性質も簡単に分かる。

○　 $T_n(x),U_n(x)$ は $x$ についての $n$ 次式である。

○　 $T_n(x),U_n(x)$ は $n$ が偶数のとき偶関数、 $n$ が奇数のとき奇関数である。

○　 $U_n(x)$ の最高次数の項は $2^n x^n$ である。

第２種チェビシェフ多項式の零点を調べてみよう。

$n$ が偶数のときチェビシェフ多項式は偶関数となるので、 $x=\alpha$ が零点であれば、 $x=-\alpha$ もまた零点となる。　　　

$U_{n}(\cos \theta)=\displaystyle\frac{\sin (n+1) \theta}{\sin \theta}$ であることから、 $\theta=\displaystyle\frac{k \pi}{n+1} , (k=1,\cdots,\frac{n}{2})$ のとき零点となるので、 $x = \pm \cos \displaystyle\frac{k \pi}{n+1} , (k=1,\cdots,\frac{n}{2})$ がすべての零点である。したがって、 $n=2m$ のとき $U_n(x)$ を因数分解すると、

$U_n(x)=2^{2m} \displaystyle{\prod_{k=1}^m (x^2 - \cos^2 \frac{k \pi}{n+1})}$

この式に $x=\frac{1}{2 i}$ を代入すると、 $(-1)^m \displaystyle{\prod_{k=1}^m (1 +4 \cos^2 \frac{k \pi}{n+1})}$ を得るが、実はこの値はフィボナッチ数に一致する。

【命題】

リュカ数　 $L_n=2 i^n \cos n w$
フィボナッチ数 $F_{n+1}=i^n \displaystyle\frac{\sin (n+1) w}{\sin w}$

ただし、 $w=\frac{\pi}{2}+i \log \phi$ 、 $\phi=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ （黄金比）とする。したがって、 $x=\cos w=\displaystyle\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}=\displaystyle\frac{i\phi^{-1}-i\phi}{2}=\displaystyle\frac{1}{2i}$ を $U_{2m}(x)$ に代入すると、 $F_{2m+1}=i^{2m} \displaystyle\frac{\sin (2m+1) w}{\sin w}=(-1)^m U_{2m}(\cos w)= \displaystyle{\prod_{k=1}^m (1 +4 \cos^2 \frac{k \pi}{2m+1})}$ となる。