k56737kagawa’s blog

Cayley–Hamilton theorem

行列 $A$ の随伴行列 $A^{*}$ とは、余因子行列 $C$ の転置行列のことである。

余因子行列の $(i,j)$ 成分は、行列 $A$ の $(i,j)$ 小行列式 $M_{ij}$ によって定義され、 $(-1)^{i+j} M_{ij}$ である。小行列式 $M_{ij}$ は、行列 $A$ の $i$ 行と $j$ 列を削除することによって得られる行列の行列式である。

随伴行列について、 $AA^{*}=A^{*}A=$ det $(A)I_n$ が成り立つ。

det $(tI_n-A)=p(t)$ とおく。これを固有多項式と呼ぶ。

$A(t)=tI_n-A$ とおくと、 $A(t)A(t)^{*}=A(t)^{*}A(t)=p(t)I_n$ が成り立つ。

ここで、行列を係数とする多項式 $\Sigma A_k t^k$ を考える。係数の行列 $A_k$ は $n×n$ の正方行列とする。

行列係数の多項式 $f(t)=\Sigma A_k t^k$ と $n×n$ の正方行列 $M$ について、 $f(M)=\Sigma A_k M^k$ と定める。行列の掛け算については、一般に交換法則が成立しないので、この定義は $t$ の位置に依存する。

行列係数の多項式 $f(t)=\Sigma A_k t^k$ と $g(t)=\Sigma B_k t^k$ について、 $f(t)g(t)$ に $t=M$ を代入した式と $f(M)g(M)$ が一致するためには、任意の $B_k$ と $M$ が可換であれば十分である。

そこで、 $A(t)^{*}=B(t)$ とおく。

$B(t)$ の各成分は $t$ を不定元とする多項式であるので、 $t^k$ の係数だけを残した行列を $B_k$ とおくと、 $B(t)=\Sigma B_k t^k$ が成り立つ。

$A(t)B(t)=B(t)A(t)$ より、 $(tI_n-A)B(t)=B(t)(tI_n-A)$ となるので、 $A$ と $B(t)$ は可換である。これは、 $A(t)B(t)$ に $t=A$ を代入した式と $A(A)B(A)$ が一致することを意味している。 $A(t)B(t)=p(t)I_n$ だから、 $A(A)B(A)=p(A)$ が成り立つ。

$A(A)=0$ なので、 $p(A)=0$ が成り立つ。

ここで $p(A)$ とは、多項式 $p(t)$ に対して、行列 $A$ を $t=A$ により代入して得られる行列を意味する。

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.